La distribución binomial

Esta distribución ocurre en cualquier experimento experimento aleatorio en el que sólo puedan darse dos posibilidades: que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos éxito, o que no ocurra dicho suceso, o sea que ocurra su complementario, que llamaremos fracaso $ \overline A$ . Es decir en experimentos donde:

• Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos sólo la posibilidad de éxito o fracaso en cada intento.
• La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones.
• La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

Podemos considerar en estos experimentos la siguiente variable

X: “nº de veces que ocurre el suceso A (nº éxitos) en n realizaciones independientes del experimento”

X tomará los valores 0, 1, 2....n .En efecto, 0 exitos, 1 éxitos, 2 éxitos ..etc

Ejemplo

Tiramos un dado 7 veces y contamos el número de cincos que obtenemos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cincos?.

Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado .¿A qué vamos a llamar éxito en cada intento?

Evidentemente, sacar un 5 , que es lo que nos interesa.

El fracaso, por tanto, será no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.

Por tanto, Éxito = A = “sacar un 5” = ´ ⇒ $p(A) = 1/6$

Fracaso = $ \overline A$ = “no sacar un 5” =⇒ $p( \overline A ) = 5/6$

Para calcular la probabilidad que nos piden, fijémonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 éxitos y 4 fracasos, ¿de cuántas maneras pueden darse estas posibilidades?.

Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: $A \overline A \,\overline A \,A \overline A \, \overline A A$

Pero también podríamos sacar $A\overline A \,AA\overline A \,\overline A \, \overline A$, es decir que en realidad estamos calculando de cuántas maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 éxitos. Recordando las técnicas combinatorias, este problema se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:

\[ P_7^{3,4} = \frac{7!}{3! · 4! }= \frac{7 · 6 · 5}{ 3 · 2 · 1}= 35 \,\,formas \] Y por tanto, como p(A) = 1/6 y tengo 3 éxitos y p($\overline A$) = 5/6 y tengo 4 fracasos: p(tener 3 éxitos y 4 fracasos) = 35 ·1/6 ·1/6 ·1/6 ·5/6 ·5/6 ·5/6 ·5/6 = 0.0781

\[ Bin (7;1/6) \, entonces\,\, p(X = 3) = 0,0781 \]

>Como repetir este proceso sería bastante penoso en la mayoría de los casos, lo mejor es recurrir a la siguiente fórmula que expresa la probabilidad de obtener cierto número de éxitos en una distribución binomial:

Definición distribución binomial:

Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribución binomial de parámetros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por:

\[ p(X = k) = \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array} \right)p^k (1-p)^{n-k}\]

Observar que las probabilidades de éxito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.

Ejemplo

Antes teníamos Bin(7; 1/6), y queríamos calcular p(X=3) (obtener 3 éxitos). Aplicando la fórmula: \[ p(X = 3) = \left(\begin{array}{c}7\\3\end{array} \right)(1/6)^k (5/6)^{7-3}=0,0781\]

Ejemplo

Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.

En este caso Exito = E = “tener hijo” y p(E) = 0’5. ´

Fracaso = F = “tener hija” y p(F) = 0’5.

Estamos por tanto ante una binomial Bin(6;0’5) y nos piden p(X=2).

Si aplicamos la fórmula es: \[ p(X = 2) = \left(\begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)(1/2)^2 (1/2)^{6-2}=0,2344\]

La elección de éxito o fracaso es subjetiva y queda a elección de la persona que resuelve el problema, pero teniendo cuidado de plantear correctamente lo que se pide. En el caso concreto del ejemplo anterior, si: Exito = “tener hija”, como nos piden la probabilidad de que una familia con 6 hijos tenga 2 hijos, si el éxito es tener hija hemos de plantearnos cuál es la probabilidad de tener 4 éxitos (4 hijas), es decir: \[ p(X = 4) = \left(\begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)(1/2)^4 (1/2)^{6-4}=0,2344\]

Evidentemente sale lo mismo, pero hay que ser consecuente a la hora de elegir el éxito y el fracaso y la pregunta que nos hagan.

El uso de las tablas de la distribución binomial

La distribución binomial se encuentra tabulada por lo que es fácil calcular probabilidades sin necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribución binomial es necesario conocer:

- El número de veces que se realiza el experimento (n).

- La probabilidad de éxito (p).

- El número de éxitos (k).

La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0’01 hasta 0’5). El número de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores desde 2 a 10) y el número de éxitos a su lado.

Por ejemplo en el caso anterior, Bin (6;0’5) , p(X=2), la columna p=0’5 es la última, y cuando n=6 y k=2 encontramos 0’2344, el valor que habíamos calculado.

Nota importante: El caso en que p > 0,5, no se encuentra tabulado.

La razón es bien sencilla. Si p > 0,5, entonces q ≤ 0,5 y basta intercambiar los papeles de éxito y fracaso para que podamos utilizar la tabla.

Ejemplo

La probabilidad de que un alumno de 2º de Bachillerato apruebe las Matemáticas es de 0’7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemáticas?.

Si éxito = “aprobar” y fracaso = “suspender”, entonces p = 0’7 y q = 0’3.

Tenemos, por tanto, una Bin(8;0’7)

Nos piden calcular p(X=5), que no se puede calcular mediante las tablas porque p = 0’7 y sólo tenemos hasta p = 0’5. Por tanto si intercambiamos éxito = “suspender” y fracaso =“aprobar” entonces p = 0’3, q = 0’7, es decir la nueva binomial es Bin(8;0’3) y nos piden que aprueben 5 de 8, es decir que suspendan 3 de 8 o lo que es lo mismo, que tengamos 3 éxitos, p(X=3), y buscando en la tabla es p(X=3) = 0’2541.

También, desde luego podríamos haber utilizado la fórmula desde el principio, utilizar la Bin(8;0’7) y olvidarnos de tablas para hacer: \[ p(X = 5) = \left(\begin{array}{c}8\\5\end{array} \right)(0,7)^5 (0,3)^{8-5}=0,254\]

Probabilidades acumuladas

Es posible que nos pidan no sólo la probabilidad de que ocurran un cierto número de éxitos en concreto, sino que ocurran como mucho “k” éxitos o preguntas similares. En el ejemplo anterior, por ejemplo, podrían pedirnos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben como mucho 2 alumnos?.

Si éxito = aprobar y fracaso = suspender, p= 0’7 y q = 0’3, entonces nos piden p(X ≤ 2). Eneste caso, basta pensar en que para que aprueben 2 alumnos como mucho, puede que aprueben 2, 1 o ninguno, es decir:

p(X ≤ 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 0,0001 + 0,0012 + 0,01 = 0,1013

b) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 3 y 6 alumnos (inclusive)?.

Del mismo modo:p(3 ≤ X ≤ 6) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + p(X = 6) = = 0,0467 + 0,1361 + 0,2541 + 0,2965 = 0,7334

Hemos de tener en cuenta que para la distribución binomial, en las tablas sólo se admiten valores hasta n=10 (10 repeticiones del experimento). Para valores de n > 10, inevitablemente hemos de utilizar la fórmula.

Ejemplo

Los alumnos de cierta clase se encuentran en una proporción del 67 % que estudian inglés y el resto francés. Tomamos una muestra de 15 alumnos de la clase, calcular:

a) Probabilidad de que al menos encontremos tres alumnos de inglés.

b) Probabilidad de que los 15 alumnos estudien inglés.

c) Probabilidad de que estudien inglés entre 7 y 10 alumnos.

Si éxito = estudiar inglés, p = 0’67 y fracaso = estudiar francés, q = 1-0’67 = 0’33. Manejamos por tanto una Bin(15;0’67)

a) p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + p(X = 6) + ... + p(X = 15).

Una opción es calcular estas 13 probabilidades y sumarlas. Como hay que aplicar la fórmula para calcular cada una, la tarea se puede hacer bastante larga. Otra opción, más sencilla, es pasar al complementario. El complementario de encontrar al menos 3 alumnos de inglés es encontrar como mucho 2 alumnos de inglés, p(X ≤ 2).

Es decir, p(X ≥ 3) = 1 − p(X ≤ 3) = 1 − p(X ≤ 2) = 1 − (p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2)) y sólo tenemos que calcular 3 probabilidades: p(X = 0) ≈ 0 , p(X=1) = 0’000001, p(X=2) = 0’000026.

Por lo cual, p(X ≥ 3) = 1 − (0 + 0,000001 + 0,000026) = 1 − 0,000027 = 0,999973

b) p(X=15) = 0’0025 (aplica la fórmula).

c)p(7 ≤ X ≤ 10) = p(X = 7) + p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10) = = 0,0549 + 0,1114 + 0,1759 + 0,2142 = 0,5564.

Media y desviación típica en una distribución binomial

Aunque no se demostará, en una distribución binomial Bin(n;p), el número esperado de éxitos o media, viene dado por $ \overline x = n · p$. (Recordemos que la media es una medidad de centralización).

La desviación típica, σ , que es una medida de dispersión y mide lo alejados que están los datos de la media, viene dada por $ \sigma=\sqrt{n · p · q}$