El determinante de una matriz A es igual al determinante de su traspuesta.

\( |A^t|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\\ \end{array}\right| = a_{11}a_{ 22}a_{ 33} +a_{21}a_{32}a_{ 13}+ a_{31}a_{ 12}a_{ 23}-( a_{31}a_{ 22}a_{ 13}+ a_{11}a_{ 32}a_{ 23}+a_{21}a_{ 12}a_{ 33} ) \)

Reorganizando
\( = a_{11}a_{ 22}a_{ 33}+a_{12}a_{ 23}a_{ 31}+a_{13}a_{ 21}a_{ 32}-( a_{11}a_{ 23}a_{ 32}+ a_{12}a_{ 21}a_{ 33}+a_{13}a_{ 22}a_{ 31} ) =|A| \)

Ejemplo

\( |A|=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 0\\ \end{array}\right| = 2 ⋅ 3 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 ⋅ 5 − 3 ⋅ 1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 0 + 4 + 30 − 60 − 0 − 4 = -30 \)

\( |A^t|=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 5\\ 3 & 3 & 1\\ 4 & 2 & 0\\ \end{array}\right| = 2 ⋅ 3 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 ⋅ 5 − 3 ⋅ 1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 0 + 4 + 30 − 60 − 0 − 4 = − 30 \)

Considerando entonces esta propiedad, todo los resultado para la filas de un determinante será igualmente válido para las columnas, y viceversa, pudiendo hablar simplemente de líneas de un determinante.

Si los elementos de una fila o de una columna se multiplican todos por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

\( A=\left|\begin{array}{ccc} ka_{11} & a_{12} & a_{13}\\ ka_{21} & a_{22} & a_{23}\\ ka_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| = ka_{11}a_{ 22}a_{ 33}+ka_{12}a_{ 23}a_{ 31}+ka_{13}a_{ 21}a_{ 32}-( ka_{11}a_{ 23}a_{ 32}+ ka_{12}a_{ 21}a_{ 33}+ka_{13}a_{ 22}a_{ 31} ) =k(a_{11}a_{ 22}a_{ 33}+a_{12}a_{ 23}a_{ 31}+a_{13}a_{ 21}a_{ 32}-( a_{11}a_{ 23}a_{ 32}+ a_{12}a_{ 21}a_{ 33}+a_{13}a_{ 22}a_{ 31} ) )=k \cdot \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| \)

Por lo tanto, esta propiedad

• Nos permite sacar fuera los factores comunes a todos los elementos de una línea.
• \(|k · A| = k^n · |A|\), siendo n la dimensión de la matriz

\( |A|= \left|\begin{array}{ccc} ka_{11} & ka_{12} & ka_{13}\\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23}\\ ka_{31} & ka_{32} & ka_{33}\\ \end{array}\right| = =k \cdot \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23}\\ ka_{31} & ka_{32} & ka_{33}\\ \end{array}\right| =k^2 \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ ka_{31} & ka_{32} & ka_{33}\\ \end{array}\right|=k^3 \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| =k^3 |A| \)

Si los elementos de una línea se pueden descomponer en suma de dos o más sumandos, el determinante será igual a la suma de dos determinantes (o más) que tienen todas las restantes líneas iguales y en dicha línea tienen los primeros, segundos, etc. sumandos.

\( \left|\begin{array}{ccc} a_{11}+b_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21} +b_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right|+ \left|\begin{array}{ccc} b_{11}& a_{12} & a_{13}\\ b_{21} & a_{22} & a_{23}\\ b_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| \)

Si en un determinante los elemento de una línea son nulos, el determinante es nulo.

\( |A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 0& 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| = a_{11}\cdot 0\cdot a_{ 33} + 0\cdot a_{32}a_{ 13}+ a_{31}a_{ 12}\cdot 0-( a_{31}\cdot 0\cdot a_{ 13}+ a_{11}a_{ 32}\cdot 0+0\cdot a_{ 12}a_{ 33} ) =0 \)

Si en una matriz se permutan dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo.

\( | A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| =-\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| =- | A| \)

Ejemplo

\( \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 0\\ \end{array}\right| = -30 \)

\( \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 0\\ \end{array}\right| = 30 \)

Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo.

\( | A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a & a\\ a_{21} & b & b\\ a_{31} & c & c\\ \end{array}\right| = = a_{11}bc +a_{31}ab+ a_{21}ac-( aba_{ 31}+ a_{11}cb+a_{21}ac )=0 \)

Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es nulo.

\( |A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & ka_{11} & a_{13}\\ a_{21} & ka_{21} & a_{23}\\ a_{31} & ka_{31} & a_{33}\\ \end{array}\right| = k \cdot \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{31} & a_{33}\\ \end{array}\right|=k \cdot 0=0 \)

ya que una matriz con dos filas iguales tiene determinante 0

Si los elementos de una línea son combinación lineal de las restantes líneas paralelas, el determinante es nulo.

\( |A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & r · a_{11}+s · a_{12}\\ a_{21} & a_{22} & r · a_{21}+s · a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & r · a_{31}+s · a_{32}\\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & r · a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & r · a_{21}\\ a_{31} & a_{32} & r · a_{31}\\ \end{array}\right| +\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{11} & s · a_{12}\\ a_{21} & a_{21} &s · a_{22}\\ a_{31} & a_{31} & s · a_{32}\\ \end{array}\right|=r \cdot \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & a_{21}\\ a_{31} & a_{32} & a_{31}\\ \end{array}\right| +s \cdot \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & s · a_{32}\\ \end{array}\right|=r \cdot 0 +s \cdot 0 =0 \)

Si a los elementos de una línea se le suma una combinación lineal de las restantes líneas paralelas,el determinante no varía.

\( \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}+r · a_{11}+s · a_{12}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}+r · a_{21}+s · a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}+r · a_{31}+s · a_{32}\\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & r · a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & r · a_{21}\\ a_{31} & a_{32} & r · a_{31}\\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & s · a_{12}\\ a_{21} & a_{22} &s · a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & s · a_{32}\\ \end{array}\right|= \)

\( \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & r · a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & r · a_{21}\\ a_{31} & a_{32} & r · a_{31}\\ \end{array}\right|+ r \cdot \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & a_{21}\\ a_{31} & a_{32} & a_{31}\\ \end{array}\right| +s \cdot \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & a_{32}\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & r · a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & r · a_{21}\\ a_{31} & a_{32} & r · a_{31}\\ \end{array}\right|+r \cdot 0 +s \cdot 0 =\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & r · a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & r · a_{21}\\ a_{31} & a_{32} & r · a_{31}\\ \end{array}\right| \)

El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices:.

\( |A \cdot B|=|A| \cdot |B| \)

Método CHIO

“Utilizando las propiedades de los determinantes se trata de hacer ceros a todos los elementos de una línea para luego desarrollarlo por los adjuntos de esa línea”

Ejemplo

\( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 & 3 \end{array} \right| \) \( \stackrel{F_4-F_1}{=} \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -5 & -1 \end{array} \right| = \stackrel{Desarrollo \, \\ por\, C2}{=} 2(-1)^{1+2}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 2 \\ 2& 1 & 1 \\ 1 & -5 & -1 \end{array} \right| \stackrel{F_1 \leftrightarrow F_3}{=} 2 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & -5 & -1 \\ 2& 1 & 1 \\-1 & 1 & 2 \end{array} \right| \)

\( \stackrel{F_2-2F_1\\F_3+F_1}{=}2 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & -5 & -1 \\ 0& 11 & 3 \\0& -4 & 1 \end{array} \right| = \stackrel{Desarrollo \\ \,por\, C1} {=} 2 \cdot \left| \begin{array}{cc} 11 & 3 \\ -4& 1 \end{array} \right|=2(11-(-12))=46 \)

Método de GAUSS

“Utilizando las propiedades de los determinantes se trata de conseguir un determinante triangular (superior o inferior) de tal manera que su determinante sea el producto de los elementos de la diagonal”

Ejemplo

\( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right| \) \( \stackrel{F_2+F_1\\F_3-F_1}{=} \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 7 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right| = \stackrel{3F_3}{=} \frac{1}{2}\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0& 4 & 7 \\ 0 & 4& -4 \end{array} \right| \stackrel{F_3-F_2}{=} \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 0& 4 & 7 \\0 & 0 & -11 \end{array} \right|=\frac{1}{2}1 \cdot 4 \cdot (-11)=-22 \)

Ejemplo

> \( \left| \begin{array}{cccc} 3 & x & x& x \\ x & 3 & x & x \\ x & x & 3 & x \\ x & x & x & 3 \end{array} \right| \) \( \stackrel{c_1+c_2+c_3+c_4}{=} \left| \begin{array}{cccc} 3x+3 & x & x& x \\ 3x+3 & 3 & x & x \\ 3x+3 & x & 3 & x \\ 3x+3 & x & x & 3 \end{array} \right| = (3x+3)\cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & x & x& x \\ 1 & 3 & x & 1 \\ 1 & x & 3 & x \\ 1 & x & x & 3 \end{array} \right| \stackrel{f_2-f_1\\f_3-f_1\\f_3-f_1}{=} (3x+3)\cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & x & x& x \\ 0 & 3-x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3-x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3-x \end{array} \right|=(3x+3)(3-x )^3 \)

Rango de una matriz

Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes.

Además sabemos que el número de filas L.I. es igual al número de columnas L.I.

Existen fundamentalmente dos métodos para realizarlo: Método de Gauss, Método del Orlado

Método de Gauss

Ya lo hemos visto.

Cálculo por determinantes. Método del orlado

Introducción:

Consideramos una matriz \(A \in Mmxn \) , supongamos que m≤n ( esta restricción no resta generalidad), si tomamos todos los determinantes de las submatrices de orden m (menores de orden m) y vemos que se anulan, podemos deducir que a la fuerza existe una combinación lineal entre sus filas o bien sus columnas.

Dando la vuelta a esta deducción podemos decir que si una matriz \(A \in Mmxn \) (m≤n) existe algún determinante de orden m no nulo, todas las filas y columnas son linealmente independientes \( \iff \) ran(A)=m.

Definición: Sea \( A \in Mmxn \) si en esta matriz se prescinde de una o varias filas o columnas de forma que quede una matriz cuadrada de pxp, el determinante correspondiente se llama menor de la matriz A de orden p.

Definición:

Sea \( A \in Mmxn \) se dice que el rango de A, ran(A), es K, si existe por lo menos un menor de orden K no nulo siendo nulos todos los menores de orden superior a K. (El orden del mayor menor no nulo da el rango de la matriz)

A partir de aquí vamos a ver el método práctico del Orlado para el cálculo de rangos.

Definición

Sea \( A \in Mmxn \) y elegido en ella un menor de orden K, se entenderá por orlar dicho menor, al formar otro menor de orden K+1 añadiendo al primero los elementos de una fila y una columna que no formen parte del menor dado.

Se puede demostrar que “si orlando un menor de orden K distinto de cero todos los determinantes de orden K+1 que se pueden formar son nulos entonces cualquier otro menor de orden superior a K es también nulo, y por lo tanto el rango de A es K”

Nota importante: según lo anteriormente expuesto si tenemos una matriz cuadrada de orden n, talque su determinante sea no nulo entonces su rango es n.

En la práctica para calcular el rango de una matriz se busca un menor de orden 2 no nulo.

>Se elige una columna y se orla con las filas restantes:

• Si todos los orlados son nulos se suprime la columna y se repite la operación con otra columna.
• Si hay un orlado no nulo comenzamos de nuevo y lo orlamos igual que el anterior. El proceso termina cuando no quedan columnas.

Ejemplo

- Calcular el rango de \( \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1& 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 5 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \end{array} \right) \)

Como es una matriz cuadrada primero calcularemos su determinante para ver si su rango es 4. Vemos que |A|= 0 por tanto su \( ran(A) \neq 4 \) .

Seguidamente consideramos un menor de orden 2 no nulo por ejemplo: \( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right| =-3 \neq 0 \)

Orlamos por la siguiente columna:

\( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 &-1 \\ 2 & 1 &0 \\4&5&-2 \end{array} \right|=0 \) cambiamos de fila \( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 &-1 \\ 2 & 1 &0 \\2&-1&1 \end{array} \right|=1 \neq 0 \rightarrow \) \(ran(A)\geq 3 \) y como \(|A| =0 \rightarrow ran(A)=3\)